Колебательная система под
действием внешних сил, не
зависящих от времен.
Вынужденные колебания.
Резонанс.
Евгений Сергеевич Карпов
1
Затухающие колебания
Затухающие колебания — это
колебания, при которых
амплитуда колебаний
уменьшается с течением
времени, что обусловлено
потерей энергии колебательной
системы.
2
Затухающие колебания
Затухающие колебания связаны с
тем что в реальности есть
сопротивления. Трение на Оси
вращения, трение о воздух как
нити, так и груза.
Силы трения совершают
отрицательную работу уменьшая
механическую энергию системы.
3
Статическое смещение
Кратко говоря – это такое смещение,
вызванное силой что равна силе
упругости и не даёт пружине
вернуться в положение равновесия.
Колебания не возникает она просто
растянется на некое
x
и всё.
4
Статическое смещение
Учитывая связь жёсткости пружины с частотой
собственных колебаний маятника с массой, можно
представить смещение в виде:
5
Производная
Прежде чем перейти к следующей под теме разберём
производную, чтобы было понятно откуда берутся
букавки.
6
Производная
Чтобы понять тему производной функции, давайте сначала
вспомним понятие функции. Представьте, как вы катаетесь
на велосипеде: разгоняетесь, тормозите и едете с
постоянной скоростью. Скорость велосипеда меняется с
течением времени — это и есть пример функции времени.
Функция — это математическое правило, которое принимает
на вход число (аргумент) и возвращает определённый
результат. В нашем примере результатом будет скорость
велосипеда, а аргументом — время движения.
7
Производная
Если представить зависимость скорости от времени в виде формулы, она примет
следующий вид:
V = f(t)
. Распишем значения этой формулы:
Скорость велосипеда (V) — зависимая переменная, которая изменяется с течением
времени. Например, в начале поездки она может быть 0 км/ч, через 5 минут — 20 км/ч,
а через 10 минут — 30 км/ч.
Время (t) — независимая переменная, которую мы задаём самостоятельно. Она служит
аргументом функции.
Функция f(t) описывает зависимость скорости от времени. Например,
f(t) = 3t + 2. Эта функция означает, что каждую минуту скорость увеличивается на 3км/ч,
начиная с 2км/ч в момент старта. Получается, через 5 минут скорость будет равна 3 × 5 +
2 = 17 км/ч.
8
Производная
Построим график изменения скорости велосипеда в
двумерной системе координат X и Y. По горизонтальной
оси X будем откладывать время движения, а по
вертикальной оси Y — скорость велосипеда:
9
Производная
10
Производная
Мы вспомнили понятие функции, и теперь давайте
рассмотрим изменение скорости велосипеда в разные
промежутки времени. Для этого разберём два понятия:
приращение аргумента и приращение функции.
Отметим на графике точки A и B, опустим из них
перпендикуляры на оси X и Y. Точки пересечения этих
перпендикуляров с осями будут координатами точек A и B.
Пусть точка A имеет координаты (x, y), а точка B — (x, y):
11
Производная
12
Производная
На графике в момент времени xскорость
велосипеда равна y, а в момент времени x
она становится равной y. За промежуток
времени Δx = x−xскорость изменяется
на следующую величину Δy = y−y.
13
Производная
Разность между двумя значениями аргумента
называется приращением аргумента. В нашем случае это
изменение времени между двумя точками измерения
скорости: если мы измеряем скорость в начале движения
и через 5 минут, приращение аргумента составит 5 минут.
В системе координат XY оно обозначается как Δx, где Δ
(дельта) — символ приращения.
14
Производная
С изменением аргумента изменяется и сама функция. Это
изменение называется приращением функции. В нашем
примере это изменение скорости между двумя точками
измерения. Например, если скорость в начале движения
была 0 км/ч, а через 5 минут стала 20 км/ч, приращение
функции составит 20 км/ч. В системе координат XY оно
обозначается как Δy.
15
Производная
Для функции y = f(x) приращение будет равно
Δy = f(x + Δx)−f(x):
f(x) — значение функции в исходной точке;
f(x + Δx)— значение функции в точке, смещённой
на Δx;
Δx — приращение аргумента;
Δy — приращение функции.
16
Производная
Приращение аргумента и приращение функции позволяют определить
скорость изменения функции. Это помогает понять динамику движения
велосипеда в любой момент времени. Если скорость изменения функции
положительная — велосипед ускоряется, если отрицательная —
замедляется, а если равна нулю — движется с постоянной скоростью.
Скорость изменения функции относительно изменения её аргумента
вычисляется как отношение приращения функции к приращению
аргумента. Точность этого значения увеличивается при уменьшении
приращения аргумента. Для наиболее точного результата необходимо
рассматривать это отношение при малых изменениях аргумента.
17
Производная
Представьте, что нам нужно узнать скорость велосипеда
в конкретный момент, а не среднюю скорость
за некоторый промежуток времени. Для этого нужно
рассмотреть такой короткий интервал времени, что
он почти сводится к точке. В математике это выражается
через понятие предела. Вот именно здесь
мы и сталкиваемся с понятием производной функции.
18
Производная
Производная — это предельное значение скорости изменения функции при
стремлении изменения аргумента к нулю. То есть это мгновенная скорость
изменения функции в заданной точке. Вот формула производной:
19
Производная
Элементы формулы:
f'(x) — производная функции f в точке x;
lim — предел выражения при стремлении Δx
к нулю;
Δx — приращение аргумента;
f(x + Δx)— значение функции в точке x+ Δx;
f(x) — значение функции в точке x.
20
Производная
В примере с велосипедом производная функции скорости по времени
показывает мгновенное ускорение. Это значение позволяет:
-Определять, как быстро изменяется скорость велосипеда в любой
момент времени.
-Понять, когда велосипедист ускоряется, замедляется или движется с
постоянной скоростью.
-Рассчитать время для достижения определённой скорости.
-Оптимизировать маршрут, учитывая изменение скорости на разных
участках пути.
21
Производная
Производные действительно можно искать через пределы:
Найти производную для постоянной функции y = 1/x
22
Производная
23
Таблица производных
Таблица производных — это справочный инструмент,
содержащий производные основных математических
функций: степенных,тригонометрических,показательны
хилогарифмических. Она помогает сэкономить время
при решении задач на дифференцирование и позволяет
быстро проверять правильность уже вычисленных
значений.
24
Производная
В левом столбце таблицы находится исходная функция, а в
правом — её производная. Для примера возьмём функцию
f(x) = x² и найдём её производную по таблице:
Функция f(x) = x² — это степенная функция со степенью n = 2.
Используя формулу из таблицы для xⁿ, получаем: f'(x) = n · xⁿ¹.
Подставляем значение n = 2 в формулу: f'(x) = 2 · x²¹ = 2 · x¹ = 2x.
Получается, производная функции x² равна 2x. Это означает, что
скорость изменения функции x² в любой точке пропорциональна
2x.
25
Производная
√x
1 / (2√x)
Это частный случай степенной
функции, где n = 1/2.
sin x
cos x
Производная синуса равна
косинусу.
cos x
—
sin x
Производная косинуса
— это
минус синус.
tg x
1 / cos²x
Производная тангенса выражается
через квадрат косинуса.
27
Правила нахождения производной
функции
Таблица производных охватывает только основные
функции. Для более сложных выражений необходимо
выполнять расчёты самостоятельно, используя правила
дифференцирования сложных функций.
29
Правила нахождения производной
функции
Производная суммы функций равна сумме
производных этих функций.
Правило: (u + v)' = u' + v'
Условие: y= x² + 3x
Решение: y' = (x²)' + (3x)' = 2x + 3
30
Правила нахождения производной
функции
Производная произведения функций. Производная
произведения двух функций равна сумме произведений
производной первой функции на вторую функцию
и первой функции на производную второй функции.
Правило: (u · v)' = u' · v + u · v'
Условие: y = x · sin(x)
Решение: y' = 1 · sin(x) + x · cos(x) = sin(x) + x · cos(x)
31
Правила нахождения производной
функции
Производная частного двух функций представляется
дробью. В числителе — разность произведений производной
числителя на знаменатель и числителя на производную
знаменателя. В знаменателе — квадрат знаменателя.
Правило: (u/v)' = (u' · v −v' · u) / v²
Условие: y = x / (x + 1)
Решение: y' = (1 · (x + 1) −1 · x) / (x + 1)² = 1 / (x + 1)²
32
Правила нахождения производной
функции
Производная любой константы равна
нулю.
Правило: (c)' = 0
Условие: y = 5
Решение: y' = 0
33
Правила нахождения производной
функции
Производная степенной функции. При
дифференцировании степень уменьшается на единицу,
а показатель степени становится множителем.
Правило: (xⁿ)' = n · xⁿ¹
Условие: y= x³
Решение: y' = 3x²
34
Правила нахождения производной
функции
35
Правила нахождения производной
функции
Правило для сложной функции:
Например если нужно найти производную по времени для
36
Правила нахождения производной
функции
Так как это первая производная по времени для
координаты – это получается скорость.
37
Правила нахождения производной
функции. Вынужденные колебания.
Если мы ищем ускорение, то нужна вторая производная
координаты или же первая производная скорости.
Выбирая начало отсчёта по оси X в начальном положении тела,
можно утверждать в соответствии с
, что оно колеблется
между точками x = 0 и x = 2A =
с частотой изменения
внешней силы. Динамическое смещение.
38
Вынужденные колебания
безразличного равновесия
39
Амплитуда вынужденных колебаний
Чтобы найти А вын. колеб. Маятника, воспользуемся 2 з-
н Ньютона. По оси X: сила упругости пружины = -kx и
внешняя периодич. сила
Так как ускорение колебательного движения:
и с учётом
40
Амплитуда вынужденных колебаний
Сокращаем на и учитывая, что
Получаем:
. Зависит от частоты внешней
силы.
41
Амплитуда вынужденных колебаний
.Если w = 0
получаем по сути
статическое смещение
42
Амплитуда вынужденных колебаний
43
Амплитуда вынужденных колебаний
44
Амплитуда вынужденных колебаний
45
Амплитуда вынужденных колебаний
46
